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信用：Max Planck Institute
五十年前，Mathematician Paul Erds在他的常规茶派对之一对朋友带来了一个问题。三重奏认为他们能够在下午同一解决方案。
其他数学家花了49年来提供答案。
Erds-Faber-Lovász猜想集中在数学中的一个熟悉的问题，是图形着色之一。然而，这不是在传统的图表上，而是在另一个更复杂的结构上：超图。与图形不同，其中节点之间的连接或边缘是点对点链路，超图的边缘可以包围任何数量的点。小组可以重叠甚至封闭别人，因此有助于确保解决任何着色问题的因素，包括ERDS设置的一个着色问题，结果与传统图形相比，变得与一个相比不同。
实际上差异仍然是超图数学的所有其他方面。两种结构之间存在许多类比：完全可以将传统的图形视为更丰富的超图家庭的特殊情况。它基本上是允许每个边缘仅跨度两个顶点的情况的超图。各种超图呈现大量挑战，数学家正在尝试在多个方面解决。
数字。带有七个顶点和四个边的超图。
当试图概括超图的性质时，“一切令人惊讶，”Raffaella Mulas说，德国莱比锡的Max Planck数学研究所的集团领导者，莱比锡数学研究所。“当某些东西可以概括时，我经常令人惊讶，当似乎微不足道的事情无法推广时，我也很惊讶。”
Mulas的当前研究领域侧重于超图谱的光谱。与图形的光谱一样，这些光谱是从换向器和描述顶点的连接方式的矩阵的其他操纵产生的。但是，这就是大多数相似之处的地方。
在图中，边缘由矩阵对角线的任一侧上的非零权重表示：行和列都代表顶点。
当由矩阵表示时，超图具有相当不同的结构。通常，顶点列在行中，每个边缘组都有自己的列。反过来，导致不同的机制不仅用于构建光谱，而且还用于确定诸如特征值的衍生性质的意义。
Spectra是用于在机器学习中群集的应用的重要工具，因为原则上，它们提供了在数据中查找自然分组的计算方式。通过专注于由共享边缘的数量判断的顶点之间的连接，光谱聚类可以在查找分区时证明比诸如K-means聚类的更简单方法更有效。
“频谱可以为图表执行的最基本的事情是计算连接的组件，”Mulas说，但这不适用于超图。“您可以恢复超图的连接光谱的情况仅适用于非常结构化的情况。”
这种差异已经减缓了对超图作为分析数据的工具的接受，尽管存在许多情况，其中超图是最自然的表示。例如，在20世纪90年代初，Richard Shi，然后是加拿大滑铁卢大学的博士后研究员，现在是华盛顿大学的电气工程教授，在西雅图建议使用定向的超图来构建用于集成电路的布局工具将相关组件保持在一起。
后来构思的超图表被演变为现在已知的所谓的超图，这已经被化学超图加入，所以所谓的，因为它们易于使用催化剂的反应，以及另一种变体，具有实际重量的超图。Mulas与其他组合作开发用于使用实际重量变体建模生物相互作用的工具。
近年来，超图已成为解释社交网络中的行为和联系的关注的焦点，因为它们可以显示比简单的对方式的群体活动更加多种群体活动。然而，已经找到了用于分析组的可用工具，并在处理处理大量数据时简化结构以减少处理时间。由于图形和超图之间的数学差异，过去的应用研究通常必须返回图表理论的更建立的工具，通常是在诸如集团和明星扩展的延伸的帮助下。
稍后构思的超图粪中的成导超图已经被化学超图和实际重量联系在一起。
2006年，在圣地亚哥加州大学的同龄agarwal和同事们表明，已经提出了用于处理高阶结构的多阶结构的几种算法使用与常规图理论相同的技术，因此很少的实用益处在使用它们。他们认为可用于机器学习的技术特别减少到基于图形的技术，尽管它们可能会使用诸如Cliques等扩展来尝试表示组连接。
德克萨斯州A＆M大学计算机科学与工程助理教授Nate Veldt认为，2006年纸张中确定的技术仍应被视为有用的超图技术。“明确地处理高度秩序的关系通常会导致您可能不会出现的技术如果您直接跳转到图形中使用成对关系，并且我认为可以说这是这些之前的方法，”他指出，添加了这一点景观已经改变了15年的干预。
“在应用简单的集团或明星扩展之前，超图分析的最近结果不仅仅是应用图形方法，”沃尔特说。“这些简单的减少技术确实在某些应用中表现良好，但我们也看到了越来越多的示例和应用，其中用于分析超图的更复杂的方法产生更好的结果。”
沃尔特和同事在康奈尔大学工作的基于超图开发了聚类方法，他说，在使用可穿戴设备收集邻近数据的实验中识别诸如识别中小学生组的任务中的更简单的图形减少方法。
虽然他说很难量化，但沃尔特认为过去五年的超图研究中有加速。不同的团体正在研究各种核心并应用数学方面。期待大数据应用受益，去年全国科学基金会授予若干研究人员，以查看分析部分超图的方法：这将允许它们在从存储流中流式传输时处理，而不是要求整个结构首先加载到内存中。
一种更传统的用于减少大图的计算负荷的方法是稀疏化。米兰的Bocconi大学计算机科学教授Luca Trevisan的目前焦点是一种通过去除顶点或边缘来简化图表的方法，因此可以用更少的计算分析它们的结构。与旧的聚类算法一样，HyperGraph Sparsification需要依靠降低图形方法，他说。Trevisan的目标是走向利用张力的技术，可以产生更好的结果并匹配现有的图形稀疏化器的性能。
虽然单个矩阵可以代表超图的连接，但将其转换为多维张量应该提供更充分探测结构的机会。Mulas表示，矩阵域可以导致丢失有用的信息。
去年国家科学基金会授予几位研究人员的赠款，以研究分析部分超图的方法。
将超图的数学移动到张量的大问题是使用矩阵开发的线性代数的工具经常分解。在2013年的论文中，芝加哥大学伯克利数学科学研究所的Christopher Hakar队结束了矩阵领域的表现中的许多操作，例如计算特征值，成为NP- 即使应用于只有三个维度的张量。
“我亲自看着我对侦察探险的超图稀疏化的研究，这是一种探索当您具有传统线性代数技术分解的更高维度数据时要做什么的方法，”特维索说。“我喜欢超照片稀疏的问题，因为它让我在一个非常狭隘和干净的特殊情况下进行这一探索。”
除了可能导致张量数学的基本进步，使用超图分析对社会分组等应用程序的应用揭示了对数据结构的新颖见解。沃尔特指向乖乖的概念：节点具有与相似性质的节点的趋势。奇妙地出现在图中的各种定义，似乎与人们对社会群体的看法相连。然而，康奈尔大学的沃尔特和同事发现，不同类型的同性恋剧性在同一超幅中存在：男性和女性似乎无法同时表现出对其性别是多数的群体的偏好。
“已经应用于图形的同性恋的直觉概念并不实际在超图中工作，”沃尔特说。
可能需要在超图设置中分析不同的结构。“在超图中的同性恋可能不是你认为它起初。重要的是要意识到这些潜在的数学不限化，而不是因为社会现象。我们的结果与友谊悖论的精神相似：”你的原则“朋友通常有比你所做的更多朋友。这似乎会与潜在的社会现象有关，但事实证明，可以通过图表中的组合事实来解释它。“
需要进一步的工作来探讨两个表示不仅仅是性源性的明显差异的理论依据，而且还有许多超图的其他性质以及它们如何影响应用。“该理论带来了应用。应用程序带来了理论。既激励彼此，”莫拉斯说。
不明确的是发展类似于图形的知识体系的时间可能需要多长时间，因为Erds和朋友发现。
进一步阅读
Agarwal，S.，Branson，K。和Ipplie，S。
用图表高阶学习第23届国际机械学习会议（ICML 2006）的诉讼程序，第17-24页
Jost，J.和Mulas，R。
标准化的拉普拉斯算子，用于实际系数的超图复杂网络杂志，第9卷，第1卷，2月2021年，CNAB009
HILLAR，C.J.和LIM，L。 -
大多数张力问题都是np-hardACM期刊，60,6，第45条2013年11月
沃尔特，N.，Benson，A.R.和Kleinberg，J.
大秩序乖乖地是组合不可能的arxiv：2103.11818（2021）那https://arxiv.org/abs/2103.11818
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