ACM通信gydF4y2Ba

研究突出了gydF4y2Ba

技术角度:每个图本质上都是稀疏的gydF4y2Ba

由艾瑟夫巴德NaorgydF4y2Ba
ACM通信，2013年8月，第56卷第8期，第86页gydF4y2Ba
10.1145/2492007.2492028gydF4y2Ba
评论gydF4y2Ba

下面由Batson、Spielman、Srivastava和Teng撰写的论文调查了理论计算机科学最近最重要的智力成就之一，证明了这一点gydF4y2Ba每一个gydF4y2Ba加权图接近于稀疏图。就像在重要的数学发现中经常出现的情况一样，新贡献的主要部分是一个定义而不仅仅是一个定理:在这里，作者描述了图之间“紧密度”的适当概念，称为gydF4y2Ba光谱相似gydF4y2Ba．这个概念足够好，使得相互接近的图共享某些对各种算法任务至关重要的属性，但与此同时，可以认为每个图都接近一个没有几条边的图。gydF4y2Ba

在目前(非常普遍的)语境中，angydF4y2BangydF4y2Ba-顶点加权图不过是一个gydF4y2BangydF4y2Ba通过gydF4y2BangydF4y2Ba对称矩阵gydF4y2BaGgydF4y2Ba= (gydF4y2BaggydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba)由非负实数项组成，即gydF4y2BaggydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba＝gydF4y2BaggydF4y2Ba_霁gydF4y2Ba0为每一个gydF4y2Ba我gydF4y2Ba，gydF4y2BajgydF4y2Ba{1,…,gydF4y2BangydF4y2Ba}。下面的组合图由gydF4y2BaGgydF4y2Ba对应于其gydF4y2Ba支持gydF4y2Ba:简单地画一条连接一对顶点的边gydF4y2Ba我gydF4y2Ba，gydF4y2BajgydF4y2Ba{1,…,gydF4y2BangydF4y2Ba}当且仅当条目gydF4y2BaggydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba是严格正的。这是用于建模之间的成对交互的通用模板gydF4y2BangydF4y2Ba项目，其中的数量gydF4y2BaggydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba测量相互作用的强度gydF4y2Ba我gydF4y2Ba项目和gydF4y2BajgydF4y2Ba项。gydF4y2Ba

图的一种新的结构范式可能会影响许多研究领域，因为图显然渗透到计算机科学、数学和一般科学中。因此，在这种概括性的水平上，是否有可能不是所有关于加权图的重要结构结果在几十年前就已经被发现了呢?作者通过他们过去几年的出色工作证明，这个问题的答案是响亮的“是”。gydF4y2Ba

考虑一个图gydF4y2BaGgydF4y2Ba作为计算某种“能量”的模板:每当分配一个实值时gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba每个顶点gydF4y2Ba我gydF4y2Ba，图形输出数量gydF4y2Ba．在所有可能的实数的范围内gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba、……gydF4y2BaxgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba，这个量编码了很多关于图的结构的有用信息gydF4y2BaGgydF4y2Ba．例如，通过限制到特殊情况时gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba是0还是1，一个恢复整个gydF4y2Ba减少结构gydF4y2Ba也就是说，对于每个子集gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba对于顶点，这个量不过是连接边的总权值gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba和它的补充(大小gydF4y2Ba边界gydF4y2Ba的gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba图中gydF4y2BaGgydF4y2Ba）.gydF4y2Ba

给定一个小正数，两个图gydF4y2BaGgydF4y2Ba= (gydF4y2BaggydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba),gydF4y2BaHgydF4y2Ba= (gydF4y2BahgydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba)在同一顶点集{1，…，gydF4y2BangydF4y2Ba}被称为(1 +)-谱相似，如果之间的比值gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba在1和1 +之间gydF4y2Ba所有的选择gydF4y2Ba真正的数字gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba、……gydF4y2BaxgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba．gydF4y2Ba

作者多年的努力得到了以下美丽的发现:每张图表gydF4y2BaGgydF4y2Ba(1 +)-谱与图相似吗gydF4y2BaHgydF4y2Ba最多4个gydF4y2Ba^2gydF4y2BangydF4y2Ba边缘。因此,矩阵gydF4y2BaHgydF4y2Ba繁殖的数量gydF4y2Ba具有较高的精度，同时每一行的平均非零条目数gydF4y2BaHgydF4y2Ba是否被一个不随增长而增长的量所限制gydF4y2BangydF4y2Ba．这一事实的证明是建设性的，产生一个确定性多项式时间算法需要gydF4y2BaGgydF4y2Ba作为输入和输出的稀疏近似gydF4y2BaHgydF4y2Ba．对于某些应用程序，需要运行时间接近线性的更快算法，作者展示了如果使用随机化并允许输出图，如何获得这样的算法gydF4y2BaHgydF4y2Ba它们的平均度是多对数增长的gydF4y2BangydF4y2Ba．gydF4y2Ba

这些结果的许多应用已经被发现，在未来几年肯定会发现更多的应用。作者在接下来的文章中介绍了其中的一些应用，包括设计了对角优势对称线性系统近似解的一个显著的近线性时间算法。由于作者专注于算法设计的应用，他们没有描述近年来发现的他们工作的各种数学应用。例如，Barvinok最近利用他们的工作通过一个顶点很少的多面体来近似每一个中心对称凸体。gydF4y2Ba

巴特森、斯皮尔曼、斯里瓦斯塔瓦和滕详述的想法和结果很重要，因为它们具有通用性和广泛适用性。但它们是一项重大的智力成就，主要是由于新思想的引入gydF4y2Ba证明gydF4y2Ba他们的结果。尽管数学家和计算机科学家之前已经研究过相关问题，但作者使用的方法是高度原创的，明显不同于以往的方法。他们解决这类问题的策略引入了一种新的范式，而不仅仅是将他们的结果作为一个“黑箱”，通过深入研究他们的证明技术并将其应用于其他问题，发现了惊人的应用(例如，这导致了一种非常新颖的新方法来解决Bourgain和Tzafriri的重要的限制性可逆性原理，并在随机矩阵上产生了新的结果)。gydF4y2Ba

这里展示的工作例证了理论计算机科学的最佳现代研究，因为它重塑了我们的数学理解，并串联导致快速新算法的设计。gydF4y2Ba

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