ACM通信gydF4y2Ba

研究突出了gydF4y2Ba

低深度算法电路的意外功率gydF4y2Ba

作者:Ankit Gupta, Pritish Kamath, Neeraj Kayal, Ramprasad SaptharishigydF4y2Ba
ACM通讯，2017年6月，第60卷第6期，93-100页gydF4y2Ba
10.1145 / 3065470gydF4y2Ba
评论gydF4y2Ba

复杂性理论的目的是理解某些任务的“硬度”与执行它所需的“基本操作”的数量有关。在算术电路复杂度的情况下，我们的目标是了解根据所需的加法和乘法的数量计算一个形式多项式有多难。一些早期的结果表明，以令人惊讶的方式重新排列基本的计算元素是可能的，以提供更有效的算法。这篇文章的主要结果是沿着类似的脉络。gydF4y2Ba

本文给出了一种用agydF4y2Ba浅gydF4y2Ba大小不大的电路。粗略地说，深度对应于大规模并行计算所需的时间。这一结果表明，高效的计算可以加速到深度3，而所需的规模出奇地小。gydF4y2Ba

除了浅层模拟的可能有用性之外，这个定理在计算复杂性下界有含义，因为这意味着当前下界方法的任何小改进都将导致下界研究的巨大进步。gydF4y2Ba

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1.简介gydF4y2Ba

计算复杂性领域广泛地试图理解在某些资源界限下的计算极限。这一领域的主要目标是了解哪些问题gydF4y2Ba有效的解决方案gydF4y2Ba哪些问题没有。经常被研究的资源包括算法的运行时间、使用的空间、使用的随机性、I/O操作的数量等。gydF4y2Ba

在这个背景下gydF4y2Ba时间复杂度gydF4y2Ba，回想一下布尔类P，包含了所有的决策问题，这些决策问题可以通过一个算法来解决，该算法需要多项式时间的输入大小。P类是我们认为的所有问题中的一类gydF4y2Ba有效的可计算的gydF4y2Ba关于时间，我们想知道某些算法任务是否在P中。一些例子是gydF4y2Ba旅行商问题gydF4y2Ba给定一个加权图gydF4y2BaGgydF4y2Ba和一个参数gydF4y2BakgydF4y2Ba，检查是否有一个遍历图上所有顶点的总代价最多gydF4y2BakgydF4y2Ba)或gydF4y2Ba可满足性gydF4y2Ba(SAT)(给定一个布尔公式，检查是否有一个对变量的赋值满足公式)。这个问题正是众所周知的“P vs NP”问题，人们普遍认为，对于TSP或SAT，没有有效的算法。这样的猜想可以解释为，这些计算任务需要许多“基本的基本操作”。例如，在布尔电路复杂度中，目标是了解计算给定布尔函数所需的与、或和非门的最小数量。gydF4y2Ba

本文研究的一类问题本质上是代数问题，如整数乘法、矩阵乘法等。对于其中的许多问题，许多世纪/千年前的算法已经被更快的现代算法所取代。这些更快的算法表明，有可能以惊人的方式重新排列基本的计算元素，以提供更有效的解决方案。这类代数算法的一些优秀例子是经典的Strassen算法gydF4y2Ba^22gydF4y2Ba更快的矩阵乘法算法，以及Karatsuba的算法gydF4y2Ba^11gydF4y2Ba整数乘法算法。研究这是如何以及何时可能的是gydF4y2Ba算法的复杂性gydF4y2Ba它可以被看作是计算复杂性理论的代数模拟。gydF4y2Ba

在这一领域，主要研究对象是多变量上的形式多项式，这也是本文的研究重点。具体来说，我们希望了解某些多项式的计算“有多难”。这是用变量计算形式多项式最自然的方法gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba……，gydF4y2BaxgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba是通过一系列的运算，包括加、减和乘。这样的计算可以通过gydF4y2Ba运算电路。gydF4y2Ba见gydF4y2Ba图1gydF4y2Ba，我们将允许一个(+)门的输入导线被标记为标量，从而能够计算输入的任意线性组合。特别地，可以通过将导线标记为(−1)来模拟减法。gydF4y2Ba

我们想说的是，“硬”形式多项式需要“许多”这样的操作来计算它们。在这方面，测量硬度的两个相关指标是电路尺寸(所涉及的算术运算的总数)和深度(从输入到输出路径的最大长度)。我们的目标是理解给定形式多项式族在大小和深度方面的最优复杂度。请注意，电路可以在硬件中实现，电路的深度将对应于gydF4y2Ba延迟gydF4y2Ba或者输出出现所需的时间。gydF4y2Ba

一个被充分研究过的形式多项式族的例子是gydF4y2Ba行列式gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba_dgydF4y2Ba的所有排列的集合gydF4y2BadgydF4y2Ba符号。使用著名的(高中)计算行列式的方法，它可以显示DetgydF4y2Ba_dgydF4y2Ba可以由多边形(gydF4y2BadgydF4y2Ba份)算术电路。一个非常紧密相关的形式多项式族是gydF4y2Ba永久gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

计算0/1矩阵的永久值不仅是np困难的，而且实际上是可以习惯的gydF4y2Ba数gydF4y2Ba任何布尔公式的满意赋值的数目，二部图中的完美匹配计数，以及其他一些统计中涉及计数和估计的问题。gydF4y2Ba

虽然这个家族看起来很像行列式，但它被广泛认为是任何计算Perm的算术电路gydF4y2Ba_dgydF4y2Ba的大小必须是指数gydF4y2BadgydF4y2Ba．计算电路复杂度的最大挑战是证明多项式大小的算法电路不能计算永磁体。gydF4y2Ba

1.1.算术电路的重要性gydF4y2Ba

为了理解形式多项式函数的硬度，我们首先需要定义一个合适的硬度度量。直观地说,一个多项式gydF4y2BafgydF4y2Ba＝gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba。gydF4y2BaxgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba应该是“简单”的，因为这只是一个单体。另一方面，多项式，比如gydF4y2Ba也应该是“简单”的，尽管有指数级的许多单项，如gydF4y2BafgydF4y2Ba’和gydF4y2BafgydF4y2Ba．算术电路提供了硬度的度量，即相对于这种微小变换的鲁棒性。这个模型特别有用，如果我们想理解像行列式和恒久量这样的函数，它们在本质上是代数性质的。勇敢的gydF4y2Ba^24gydF4y2Ba引入了两类形式多项式作为布尔类P和NP的代数模拟。与由高效可计算布尔函数组成的类P类似，类VP被定义为形式多项式类gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba……gydF4y2BaxgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba)与度(gydF4y2BafgydF4y2Ba) =聚gydF4y2BangydF4y2Ba)，可由多边形(gydF4y2BangydF4y2Ba)的大小。gydF4y2Ba

类似于由布尔函数组成的类NPgydF4y2BaFgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba……，gydF4y2BaxgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba)可以表示为gydF4y2Ba

对于一些gydF4y2BaGgydF4y2Ba∈gydF4y2BaP和gydF4y2Ba米gydF4y2Ba=聚gydF4y2BangydF4y2Ba)， VNP类由形式多项式组成gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba……，gydF4y2BaxgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba)可以表示为gydF4y2Ba

对于某种形式多项式gydF4y2BaggydF4y2Ba∈VP和gydF4y2Ba米gydF4y2Ba=聚gydF4y2BangydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

勇敢的gydF4y2Ba^24gydF4y2Ba显示相同gydF4y2Ba_dgydF4y2Ba和烫gydF4y2Ba_dgydF4y2Ba在某种意义上gydF4y2Ba完整的gydF4y2Ba分别为VP和VNP类。因此，证明永久不能用多项式大小的算术电路来计算，将会使NP的代数模拟与P的代数模拟分离开来。此外，如果NP⊄P/poly，则可以证明VP在有限域上≠VNP。因此，证明VP≠VNP可以被认为是证明P≠NP的垫脚石。gydF4y2Ba

与布尔世界的另一个联系是通过的问题gydF4y2Ba多项式同一性检验gydF4y2Ba其中，给定一个算术电路作为输入，要求检查该电路计算出的形式多项式是否为零。虽然这个算法问题有一个非常自然的随机算法，但构建一个确定性算法将是一个重大的进步。gydF4y2Ba^10gydF4y2Ba此外，就像在布尔世界中一样，去随机化PIT与通过硬度-随机性权衡来证明算术电路的下界有非常深的联系。gydF4y2Ba

因此，理解算术电路可能是理解布尔电路的第一步。算术电路也有很多结构，在布尔世界中，有时没有类似的。最重要的例子是可能性gydF4y2Ba深度减少gydF4y2Ba运算电路。gydF4y2Ba

1.2.浅电路的功率gydF4y2Ba

深度低的电路对应的是高度并行的计算，其中边表示计算中的依赖性。因此，很自然地要尽量减少电路的深度，同时允许大小有所增加。在布尔电路的例子中，我们知道非常浅的布尔电路根本不强大。已知由∧和∨门组成的等深布尔电路甚至不能计算的宇称gydF4y2BangydF4y2Ba-位，除非它们是指数级大小。这个重要的结果现在是任何复杂理论课程或教科书的一部分，例如Ref。gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba在算术电路中证明恒定深度(甚至是3或4深度)的下界的类似设置是具有挑战性的!gydF4y2Ba

勇敢的et al。gydF4y2Ba^25gydF4y2Ba证明了如果是一个形式多项式gydF4y2BafgydF4y2Ba的程度gydF4y2BadgydF4y2Ba可以用电路的大小来计算吗gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba实际上，它可以通过深度电路来计算gydF4y2BaOgydF4y2Ba(日志gydF4y2BadgydF4y2Ba·日志gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba)和大小gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba^{ogydF4y2Ba(1）gydF4y2Ba}．这种深度约简的反命题是如果我们能证明超多项式大小的下界gydF4y2BaOgydF4y2Ba(日志gydF4y2Ba^2gydF4y2BangydF4y2Ba，则可以证明一般电路的超多项式大小下界。gydF4y2Ba

进一步推进尺寸-深度权衡的研究路线，最近的工作考虑以尺寸的超多项式增长为代价，减小到更小深度的电路(具有无界扇入门)。在这个方向上，阿格拉瓦尔和维奈的研究gydF4y2Ba^1gydF4y2Ba随后又由柯兰加强gydF4y2Ba^14gydF4y2Ba和TavenasgydF4y2Ba^23gydF4y2Ba表明如果gydF4y2BangydF4y2Ba变量的程度gydF4y2BadgydF4y2Ba多项式gydF4y2BafgydF4y2Ba电路的大小gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba＝gydF4y2BangydF4y2Ba^{OgydF4y2Ba(1）gydF4y2Ba}然后gydF4y2BafgydF4y2Ba其实可以由深度来计算四种电路的大小吗gydF4y2Ba．值得注意的是，作为单体和的简单计算需要大小gydF4y2Ba一个简单的非构造论证表明大多数形式多项式需要gydF4y2BangydF4y2Ba^{Ω(gydF4y2BadgydF4y2Ba）gydF4y2Ba}大小。在这种情况下，尺寸的增加只增不减gydF4y2Ba在下界的情况下仍然很有用。gydF4y2Ba

这意味着gydF4y2Ba仅仅是gydF4y2Ba为了证明任意电路的下界，需要证明深度四电路的一个(足够好的)下界。例如，如果我们能证明PermgydF4y2Ba_dgydF4y2Ba需要深度4个2大小的电路gydF4y2Ba^{Ω(gydF4y2BadgydF4y2Ba3／4gydF4y2Ba）gydF4y2Ba}那么这就意味着珀姆gydF4y2Ba_dgydF4y2Ba需要大小为2的一般算术电路gydF4y2Ba^{Ω(gydF4y2BadgydF4y2Ba1/4gydF4y2Ba）gydF4y2Ba}来计算它。事实上，受此驱动，最近深度四电路的下界已经非常接近分离VP和VNP所需的阈值。gydF4y2Ba

以下是已知减深成果汇总:gydF4y2Ba

1.3.浅电路的下界gydF4y2Ba

深度三个电路。gydF4y2Ba在证明算术电路的下界方面，进展一直是缓慢的。这通常被认为是计算机科学中最具挑战性的问题之一。这个问题的难度使得研究人员把注意力集中在算术电路的自然子类上。有界深度电路就是其中的一个自然子类，受到了广泛的关注。深度三算术电路类，又称ΣΠΣ电路，由于它是最浅层的非平凡子类，已被广泛研究。这样一个电路gydF4y2BaCgydF4y2Ba，如gydF4y2Ba图2gydF4y2Ba，计算形式的形式多项式gydF4y2Ba

其中每个gydF4y2BaℓgydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba)是输入变量的线性多项式。ΣΠΣ在研究多项式乘法和矩阵乘法的复杂性时，自然会产生电路。此外，一些著名的形式多项式族的最优公式/电路实际上是深度三电路。特别是最著名的Perm电路计算gydF4y2Ba_dgydF4y2Ba被称为赖泽公式gydF4y2Ba^19gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

哪一个是深度三电路的大小gydF4y2BaOgydF4y2Ba（gydF4y2BadgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba·2gydF4y2Ba^dgydF4y2Ba)．赖泽公式是代数计算非平凡加速的另一个例子。gydF4y2Ba

对于深度三电路的限制，已经得到了相当多的下界。尼森和WigdersongydF4y2Ba^18gydF4y2Ba研究了深度三电路的限制下gydF4y2Ba同质性。gydF4y2Ba齐次电路是所有中间计算的次数以输出多项式的次数为界的电路。尼森和WigdersongydF4y2Ba^18gydF4y2Ba在任何领域都是如此gydF4y2Ba

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没有发现记录gydF4y2Ba